В геометрии существует важное утверждение о равнобокой вписанной трапеции в окружность. В равнобокой вписанной трапеции две противоположные стороны равны, а дополнительные касательные к окружности, проведенные из вершин равным сторонам трапеции, имеют одну прямую накладку на диаметр окружности.
Докажем это утверждение. Рассмотрим вписанную трапецию ABCD, в которой AB — основание, а CD — вершина трапеции. Пусть P и Q — точки пересечения дополнительных касательных к окружности, проведенных из вершин C и D со стороной AB. Также пусть O — центр окружности, а R и S — точки касания с основанием AB.
Так как точка касания касательной к окружности является перпендикуляром к радиусу, то RO и SO являются перпендикулярами к сторонам AD и BC соответственно. Также, так как CD — прямая, то углы ACD и BCD являются прямыми углами. Из этих фактов следует, что треугольники ACD и BCD являются прямоугольными.
Что такое вписанная трапеция?
Основные свойства вписанной трапеции:
- Диагонали вписанной трапеции равны между собой и являются высотой трапеции;
- Сумма противоположных углов вписанной трапеции равна 180 градусам;
- Сумма углов треугольника, образованного диагоналями вписанной трапеции, также равна 180 градусам.
Вписанная трапеция является частным случаем вписанного четырехугольника. Она обладает некоторыми уникальными свойствами, которые используются в геометрических задачах и доказательствах.
Определение и свойства вписанной трапеции
Свойства вписанной трапеции:
- Противоположные углы вписанной трапеции суммируются до 180 градусов.
- Диагонали вписанной трапеции являются перпендикулярными и делят трапецию на две равные по площади треугольника.
- Сумма оснований вписанной трапеции равна произведению диагоналей.
- Основания вписанной трапеции равны по длине.
Вписанная трапеция является основным фигуры в теореме о равнобокой трапеции, которая утверждает, что если в трапеции диагонали равны, то такая трапеция является равнобокой и углы при основаниях равны.
Равнобокость внутри трапеции
Для начала рассмотрим свойство равнобокости. В равнобедренной трапеции две стороны, которые не являются основаниями, равны друг другу. Это означает, что углы при этих сторонах также равны.
Внутри трапеции можно выделить два особых треугольника: сторона трапеции и две боковые стороны, и обратный треугольник, основание трапеции и две другие боковые стороны. Оба этих треугольника являются равнобедренными.
Дальнейшее доказательство равнобокости внутри трапеции основано на равенстве некоторых углов этих треугольников. Если мы рассмотрим диагонали трапеции, то углы между этими диагоналями и боковыми сторонами будут равным (смежные углы у равнобедренных треугольников).
Таким образом, у нас есть два равнобедренных треугольника, у которых одинаково наклоненные боковые стороны (диагонали трапеции) и одинаковые углы при них. Поэтому, внутри трапеции можем заключить, что она также является равнобокой фигурой.
Строение равнобокой вписанной трапеции
Пусть ABCD — равнобокая вписанная трапеция, где AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны, O — центр окружности, которой лежат основания.
В равнобокой вписанной трапеции основания параллельны, поэтому их длины равны: AB = CD = a.
Проведем перпендикуляр AO к стороне AB и BO к стороне CD.
Так как равнобокая трапеция – вписанная, а O — центр окружности, то AO и BO равны и являются радиусами окружности: AO = BO = R.
| Аргумент доказательства: | К сравнению показателей треугольников |
| Пункт доказательства: | 1. AB = CD |
| 2. AO = BO | |
| 3. AD = BC | |
| Заключение: | Так как ОД мы уже обозначили как AD, то трапеция ABCD — равнобокая. |
Из строения равнобокой вписанной трапеции следует, что ее боковые стороны равны по длине: AD = BC = b.
Таким образом, равнобокая вписанная трапеция имеет следующие особенности: основания равны, боковые стороны равны и радиусы, проведенные из вершин к центру окружности, также равны.
Доказательство равнобокости
Доказать равнобокость вписанной трапеции в окружность можно следующим образом:
Шаг 1: Проведем диагонали четырехугольника, образованного стороной трапеции и радиусом окружности, проходящим через точку пересечения диагоналей. Пусть точка пересечения обозначается как M.
Шаг 2: Рассмотрим треугольники ΔOMB и ΔOMC. Они имеют общую гипотенузу OM и равны по гипотезе, так как все радиусы окружности равны.
Они также имеют равные противолежащие углы, так как это центральные углы, соответствующие дугам OB и OC на окружности.
Следовательно, треугольники ΔOMB и ΔOMC равны по стороне и углу (Постулат ВЛ).
Следствие 1: Треугольники ΔOMB и ΔOMC равнобедренные.
Шаг 3: Обозначим точку пересечения боковых сторон трапеции А и В. Рассмотрим треугольники ΔAMO и ΔBMO.
Они имеют общую гипотенузу OM, равные углы OMA и OMB, а также равные плечи AM и BM (отрезки, соединяющие точки пересечения диагоналей с боковыми сторонами).
Следовательно, треугольники ΔAMO и ΔBMO равны по стороне (плечам) и двум углам (постулат ВЛ).
Следствие 2: Треугольники ΔAMO и ΔBMO равнобедренные.
Шаг 4: Из следствия 1 и следствия 2 следует, что оба треугольника ΔAMO и ΔBMO равнобедренные. Но они также имеют общую боковую сторону MO.
Следовательно, у них должны быть равны основания АМ и ВМ.
Таким образом, трапеция АВМО является равнобокой.
Таким образом, мы доказали равнобокость вписанной трапеции АВМО в окружность.
Следствия равнобокости
- Все стороны вписанной трапеции равны между собой.
- Углы между сторонами и диагоналями в треугольниках, в которых лежат основания трапеции, также равны.
- Диагонали трапеции перпендикулярны друг другу.
- Серединные линии треугольников, в которых лежат основания трапеции, пересекаются в одной точке, являющейся серединой основания.
- Диагонали трапеции равны между собой и делятся перпендикулярно в точке пересечения.